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\begin{document}
\color{TextCol}
\title{Laberintos Coordenados II}
\author{Roberto Jiménez Álvarez$^1$, Ana Libia Marín Silva$^1$, Pablo
  Padilla Longoria$^2$ y W. Luis Mochán Backal$^3$} 
\institute{$^1$Liga Tecnoplástica,\\
  $^2$Instituto de Investigación en Matemáticas Aplicadas y Sistemas, UNAM\\
  $^3$Instituto de Ciencias Físicas-UNAM
}
\email{$^1$ligatecnoplastica@gmail.com, $^2$pabpad@gmail.com,
    $^3$mochan@fis.unam.mx}
\rightlogo{logounam}
\leftlogo{logoLiga}
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%\renewcommand{\authorsize}{\Large}
%\renewcommand{\instsize}{\large}
\maketitle
\begin{multicols}{3}
\section{Dimensiones}
\begin{itemize}
\item Dado un sistema coordenado, cada punto en un plano equivale a
  una pareja $(x,y)$ de números: su coordenada $x$ a lo largo del eje
  $X$ y su coordenada $y$ a lo largo del eje $Y$.
  $$
  \includegraphics[width=.28\textwidth]{poster2.0}
  $$
\item ¿Cuántos números se requieren para indicar puntos sobre una
  línea?
  $$
  \scalebox{.8}{
  \begin{pspicture}(0,-.5)(0,3)
    \rput(0,1){%
      \rput(7,-.5){\includegraphics[width=.035\textwidth]{frog}}
      \rput(4,1.5){\includegraphics[width=.035\textwidth,angle=290]{frog}}
      \rput(-3,-.5){\includegraphics[width=.035\textwidth]{frog}}
      \rput(-11,.6){\includegraphics[width=.035\textwidth,angle=120]{frog}}
      \rput(0,0){\includegraphics[width=.35\textwidth]{poster2.1}}
    }
  \end{pspicture}
  }
  $$
\item ¿Cuántos números se necesitan para indicar puntos en el espacio?
  $$
  \includegraphics[width=.25\textwidth]{poster2-1}
  $$
\item Las líneas tienen {\em dimensión} uno, los planos tienen
  dimensión dos y el espacio tiene dimensión tres.
\item Una línea tiene dimensión uno aunque no sea recta.
  $$
  \includegraphics[width=.22\textwidth]{poster2.2}
  $$
\item Una superficie tiene dimensión dos aunque no sea plana
  $$
  \scalebox{1.}{
    \begin{pspicture}(-20,-3)(10,12)
      \rput(-9.2,5.1){\includegraphics[width=19cm]{poster2-2}}
      \rput(-20,-2.5){
        \rput(11.8,3){-6}
        \rput(10.1,4){-4}
        \rput(8.3,5){-2}
        \rput(6.8,5.6){0}
        \rput(5.0,6){2}
        \rput(3.3,6.2){4}
        \rput(1.8,6.1){6}
        %  \rput(.8,5.83){$Y$}
        %  \rput(22.5,5.5){$X$}
        \rput(20.5,5.65){6}
        \rput(19.5,6.1){4}
        \rput(18.75,5.9){2}
        \rput(17.8,5.5){0}
        \rput(16.7,4.7){-2}
        \rput(15.7,3.5){-4}
        \rput(14.6,2.4){-6}
        \rput(10.5,9){\includegraphics{poster2.3}}
        \rput(11.1,12.75){\includegraphics{poster2.30}}
        \rput(17,2){\includegraphics{poster2.4}}
        \rput(6.5,2.5){\includegraphics{poster2.5}}
      }
    \end{pspicture}
  }
$$
  \item El punto verde denota el origen.
  \item ¿Puedes identificar el punto (-4,2) en la superficie?
  \item ¿Cuales son las coordenadas del punto rojo?
\end{itemize}
\section{¿Cuántas dimensiones hay?}
\begin{itemize}
\item Las posibles posiciones de un punto forman un espacio de
  dimensión tres.
\item Cada {\em evento}, como el encendido de un cerillo, un salto, un
  saludo, un beso, un choque, un ladrido, etc., sucede en algún lugar y en
  algún momento, tiene una posición y un tiempo. Las posibles
  posiciones del evento forman un espacio de tres dimensiones mientras
  que el tiempo transcurre en una dimensión, caracterizada por la hora
  en que sucede. Por lo tanto el conjunto de todos los posibles
  eventos forma un espacio de cuatro dimensiones, el {\em
    espacio-tiempo}.
  $$
  \includegraphics[width=.28\textwidth]{poster2-3}
  $$
\item Como es {\em difícil} dibujar en cuatro dimensiones, arriba se
  muestra cómo se vería el espacio-tiempo en un mundo donde el espacio
  fuese de dos dimensiones.
\item Se muestran también las trayectorias en el espacio-tiempo,
  llamadas {\em líneas de universo}, de algunas partículas. Localiza la
  línea de universo de:
  \begin{itemize}
  \item La partícula que no se mueve en el espacio conforme transcurre
    el tiempo $t$.
  \item La que se mueve lentamente en la dirección $y$.
  \item La que se mueve rápidamente en la dirección $x$ y lentamente
    en la dirección $y$.
  \item La que da de vueltas en el plano $X-Y$.
  \end{itemize}
\end{itemize}
\section{Otros espacios multi-dimensionales}
\begin{itemize}
\item ¿Cuántos números se requieren para determinar donde están
  dos canicas que ruedan?
  $$
  \includegraphics[width=.28\textwidth]{poster2-4}
  $$
  Dos para establecer la posición de cada canica=cuatro dimensiones.
\item ¿Cuántas dimensiones tiene el {\em espacio de posibles
  configuraciones}  de 4 gramos de gas \mbox{Helio}?
  $$
  \includegraphics[width=.28\textwidth]{poster2.6}
  $$
  Tres números por átomo=dos millones de millones de millones de millones
  de dimensiones. 
\item ¿Cuántas dimensiones tiene el espacio de posibles posturas de un brazo?
  $$
  \includegraphics[width=.25\textwidth]{poster2.7}
  $$
  $$
  \scalebox{.8}{
  \begin{pspicture}(-10,-5)(15,10)
  \rput[bl](-10,4){\includegraphics[scale=.49]{poster2.8}}
  \rput[bl](-8.5,2){\includegraphics[scale=.49]{poster2.9}}
  \rput[bl](-7,-2){\includegraphics[scale=.49]{poster2.10}}
  \rput[bl](-1,-5){\includegraphics[scale=.49]{poster2.11}}
  \rput[bl](5,-2){\includegraphics[scale=.49]{poster2.12}}
  \rput[bl](6,1){\includegraphics[scale=.49]{poster2.13}}
  \rput[bl](7,4){\includegraphics[scale=.49]{poster2.14}}
  \end{pspicture}
  }
 $$
  Uno o dos ángulos por cada articulación=ocho dimensiones
  para las posturas del brazo-antebrazo-muñeca-dedo
  índice. Experimenta distintas posturas corporales. ¿Cuántas
  dimensiones tiene su {\em espacio de configuración}?
\item ¿Cuántos para especificar un color?
  $$
  \includegraphics[width=.22\textwidth]{poster2.15}
  $$
  Nuestro ojo reconoce tres colores primarios. El espacio
  {\em perceptual} de colores es de tres dimensiones (rojo, verde,
  azul). El espacio {\em físico} de los colores ¡es de {\em infinitas}
  dimensiones! Por ejemplo, rojo $+$ verde {\em parece} amarillo, pero
  no {\em es} amarillo.
\item ¿Cuántos para especificar el timbre de un tono musical? Una
  intensidad para cada armónico={\em
  infinitas} dimensiones.
\item ¿Cuántos para especificar todos los  posibles acordes en un
  piano? El volumen correspondiente a cada tecla=90 dimensiones.
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{document}
