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\begin{document}
\color{TextCol}
\title{Laberintos Coordenados III}
\author{Roberto Jiménez Álvarez$^1$, Ana Libia Marín Silva$^1$, Pablo
  Padilla Longoria$^2$ y W. Luis Mochán Backal$^3$} 
\institute{$^1$Liga Tecnoplástica,\\
  $^2$Instituto de Investigación en Matemáticas Aplicadas y Sistemas, UNAM\\
  $^3$Instituto de Ciencias Físicas-UNAM
}
\email{$^1$ligatecnoplastica@gmail.com, $^2$pabpad@gmail.com,
    $^3$mochan@fis.unam.mx}
\rightlogo{logounam}
\leftlogo{logoLiga}
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%\renewcommand{\authorsize}{\Large}
%\renewcommand{\instsize}{\large}
\maketitle
\begin{multicols}{3}
\section{Coordenadas cartesianas}
\begin{itemize}
\item Podemos caracterizar los puntos del plano usando un sistema de
  coordenadas cartesianas, trazando dos ejes perpendiculares $X$ y
  $Y$, colocando en ellos marcas equi-espaciadas y formando una
  retícula ortogonal.
  $$
  \includegraphics[width=.28\textwidth]{poster3.0}
  $$
\end{itemize}
\section{Coordenadas logarítmicas}
\begin{itemize}
\item Las retículas no tienen por qué ser equi-espaciadas
\item Deformando la retícula de ciertas formas, se pueden enderezar
  las curvas que representan ciertas ecuaciones, simplificando su análisis.
  $$
  \includegraphics[width=.25\textwidth]{poster3.1}
  $$
\end{itemize}

\section{Coordenadas oblícuas}
\begin{itemize}
\item Las líneas de la retícula no tienen por qué ser ortogonales
  $$
  \includegraphics[width=.25\textwidth]{graphene.jpg}
  $$
\item Algunas estructuras cristalinas, como el grafeno mostrado
  arriba, se describen más fácilmente en ejes oblícuos.
  $$
  \includegraphics[width=.25\textwidth]{poster3.4}
  $$
  Los anillos del grafeno están centrados en los nodos de una red
  triangular. En vez de cuadros, las {\em celdas unitarias} son
  paralelogramos (de lados azules y verdes)  formados por dos
  triángulos equiláteros (unidos por las líneas amarillas). 
\end{itemize}
\section{Coordenadas polares}
\begin{itemize}
\item Las retícula no tiene por qué consistir sólamente en líneas
  rectas. Las coordenadas polares son de la forma $(r,\theta)$, donde
  $r$ es la distancia a cierto punto y $\theta$ es el ángulo desde el
  mismo punto con respecto a cierta dirección preestablecida (línea
  negra).
\item Las líneas con $r$ constante son círculos. Las líneas con
  $\theta$ constante son rectas. 
  $$
  \includegraphics[width=.25\textwidth]{poster3.2}
  $$
\item Localiza los puntos con coordenadas polares $(3,0)$, $(4,90)$,
  $(2,240)$. 
\item Encuentra las coordenadas polares aproximadas de la flor rosa,
  la montaña nevada, el árbol, la carita sonriente y el corazón.
\item Ciertas figuras y ecuaciones son más fáciles de analizar en
  coordenadas polares.
  $$
  \includegraphics[width=.25\textwidth]{poster3.3}
  $$
\item Identifica las figuras correspondientes a las ecuaciones 
  \begin{itemize}
  \item $r=4$, 
  \item $r=\theta/144$
  \item $r=5 [\sin(\theta/2)]^2$
  \item $r=3\sin(2\theta)$
  \end{itemize}
\end{itemize}
\section{Coordenadas elípticas}
\begin{itemize}
\item Ciertas ecuaciones de la física matemática se pueden resolver en
  una retícula definida por familias de hipérbolas y elipses.
  $$
  \includegraphics[width=.28\textwidth]{poster3.5}
  $$
\end{itemize}
\section{Otros sistemas}
\begin{itemize}
\item Hay muchos otros sistemas coordenados para planos, cada uno con
  aplicaciones específicas: {\em parabolicas, bipolares, hiperbólicas\ldots}
\end{itemize}
\section{Coordenadas bi-angulares}
\begin{itemize}
\item Un segmento y dos ángulos definen un triángulo.
  $$
  \includegraphics[width=.28\textwidth]{poster3.6}
  $$
\item Existe un sólo punto $C$ al que se puede llegar viajando a un ángulo
  $\alpha$ con respecto a la línea $AB$ partiendo desde $A$ y viajando
  a un ángulo $\beta$ respecto a la línea $BA$ desde el punto
  $B$. Entonces $(\alpha,\beta)$ sirven como {\em coordenadas
    bi-angulares} para el punto $C$. 
\item Para $C$ en el ejemplo arriba, $\alpha=30$ y $\beta=120$.
  $$
  \includegraphics[width=.28\textwidth]{poster3.7}
  $$
\item Las etiquetas $\blue \alpha$ y $\green \beta$ de la línea azul y
  la línea verde que se cruzan en un punto son las coordenadas
  bi-angulares $(\alpha,\beta)$ del mismo.
\item Más adelante presentaremos un dispositivo
  técnico-gráfico-artístico para encontrar otras coordenadas
  bi-angulares  mientras paseamos por esta sala.
  
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{document}
